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CIE 9709 2024 June Paper 32 Q8

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2024 June Paper 32 Paper · Question 8

题目

Problem

The points AA, BB and CC have position vectors OA→=−2i+j+4k\overrightarrow{OA}=-2\mathbf{i}+\mathbf{j}+4\mathbf{k}, OB→=5i+2j\overrightarrow{OB}=5\mathbf{i}+2\mathbf{j} and OC→=8i+5j−3k\overrightarrow{OC}=8\mathbf{i}+5\mathbf{j}-3\mathbf{k}, where OO is the origin. The line l1l_1 passes through BB and CC.

(a) Find a vector equation for l1l_1.

(3)

The line l2l_2 has equation

r=−2i+j+4k+μ(3i+j−2k).\mathbf{r}=-2\mathbf{i}+\mathbf{j}+4\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}).

(b) Find the coordinates of the point of intersection of l1l_1 and l2l_2.

(4)

(c) The point DD on l2l_2 is such that AB=BDAB=BD.

Find the position vector of DD.

(5)
题目中文翻译

点 AA、BB 和 CC 的位置向量分别为 OA→=−2i+j+4k\overrightarrow{OA}=-2\mathbf{i}+\mathbf{j}+4\mathbf{k}、OB→=5i+2j\overrightarrow{OB}=5\mathbf{i}+2\mathbf{j} 和 OC→=8i+5j−3k\overrightarrow{OC}=8\mathbf{i}+5\mathbf{j}-3\mathbf{k}，其中 OO 为原点。直线 l1l_1 经过 BB 和 CC。

(a) 求直线 l1l_1 的一个向量方程。

(3)

直线 l2l_2 的方程为

r=−2i+j+4k+μ(3i+j−2k).\mathbf{r}=-2\mathbf{i}+\mathbf{j}+4\mathbf{k}+\mu(3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}).

(b) 求直线 l1l_1 与 l2l_2 的交点坐标。

(4)

(c) 直线 l2l_2 上的点 DD 满足 AB=BDAB=BD。

求 DD 的位置向量。

(5)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 C−BC-B 求方向，可把三个公共因子约去。

答题过程

展开

A direction vector is

BC→=(8,5,−3)−(5,2,0)=(3,3,−3).\overrightarrow{BC}=(8,5,-3)-(5,2,0)=(3,3,-3).

Using the parallel vector (1,1,−1)(1,1,-1), a vector equation is

r=(520)+λ(11−1),λ∈R.\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}, \quad\lambda\in\mathbb R}.

(b)

解法一

思路

展开

联立两条直线的分量求参数，最后核对第三项。

答题过程

展开

At the intersection,

5+λ= −2+3μ,2+λ= 1+μ,−λ= 4−2μ.\begin{align*} 5+\lambda=&\,-2+3\mu,\\[4mm] 2+\lambda=&\,1+\mu,\\[4mm] -\lambda=&\,4-2\mu. \end{align*}

The first two components give

5+λ= −2+3μ,2+λ= 1+μ.\begin{align*} 5+\lambda=&\,-2+3\mu,\\[4mm] 2+\lambda=&\,1+\mu. \end{align*}

Thus λ=μ−1\lambda=\mu-1. Substituting in the first equation gives 4+μ=−2+3μ4+\mu=-2+3\mu, so μ=3\mu=3 and λ=2\lambda=2.

The third components agree: −λ=−2=4−2μ-\lambda=-2=4-2\mu. Hence the intersection is

(7,4,−2).\boxed{(7,4,-2)}.

(c)

解法一

思路

展开

这里等式比较的是长度。设直线上的一般点，用距离平方建立二次方程；其中零参数对应原来的点 AA。

答题过程

展开

The squared length is

AB2=72+12+(−4)2=66.AB^2=7^2+1^2+(-4)^2=66.

A general point DD on l2l_2 has position vector

OD→=(−2+3μ,1+μ,4−2μ).\overrightarrow{OD}=(-2+3\mu,1+\mu,4-2\mu).

Hence

BD→=(−7+3μ,−1+μ,4−2μ).\overrightarrow{BD}=(-7+3\mu,-1+\mu,4-2\mu).

The condition BD=ABBD=AB gives

(3μ−7)2+(μ−1)2+(4−2μ)2=66.(3\mu-7)^2+(\mu-1)^2+(4-2\mu)^2=66.

Expanding,

 9μ2−42μ+49 +μ2−2μ+1 +4μ2−16μ+16=66,14μ2−60μ+66= 66,2μ(7μ−30)= 0.\begin{align*} &\,9\mu^2-42\mu+49\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\mu^2-2\mu+1\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+4\mu^2-16\mu+16=66,\\[4mm] 14\mu^2-60\mu+66=&\,66,\\[4mm] 2\mu(7\mu-30)=&\,0. \end{align*}

Thus μ=0\mu=0 or μ=30/7\mu=30/7. The first gives D=AD=A. Substituting μ=30/7\mu=30/7 gives the coordinates −2+90/7=76/7-2+90/7=76/7, 1+30/7=37/71+30/7=37/7 and 4−60/7=−32/74-60/7=-32/7. Hence the distinct point is

OD→=767i+377j−327k.\boxed{\overrightarrow{OD} =\frac{76}{7}\mathbf i+\frac{37}{7}\mathbf j-\frac{32}{7}\mathbf k}.

If DD is not required to be distinct from AA, OD→=−2i+j+4k\overrightarrow{OD}=-2\mathbf i+\mathbf j+4\mathbf k also satisfies the stated distance condition.