复数 $z$ 和 $\omega$ 定义为 $z=1-\mathrm{i}$ 和 $\omega=-3+3\sqrt3\mathrm{i}$。

(a) 将 $z\omega$ 表示为 $a+b\mathrm{i}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为实数，且以精确根式形式表示。

(b) 将 $z$ 和 $\omega$ 表示为 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\le\pi$。分别给出 $r$ 和 $\theta$ 的精确值。

(c) 在 Argand 图中，表示 $\omega$ 和 $z\omega$ 的点分别为 $A$ 和 $B$。

证明 $OAB$ 是等腰直角三角形，其中 $O$ 为原点。

(d) 利用 (b) 问的答案，证明 $\tan\frac5{12}\pi=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

直接展开并使用 $\mathrm{i}^2=-1$，把实部与虚部分别合并。

Multiplying,

Thus

分别求模长，再按象限选主辐角。

For $z=1-\mathrm{i}$, the modulus is $\sqrt2$ and the argument is $-\pi/4$. Hence

For $\omega=-3+3\sqrt3\,\mathrm{i}$, the modulus is

and its second-quadrant argument is $2\pi/3$. Thus

先求两条相等的边，再用复数模长乘积得到第三边，勾股定理即可证明直角。

Since $A$ represents $\omega$, $OA=|\omega|=6$.

Also,

Thus $OA=AB$, proving that the triangle is isosceles.

Finally,

Hence

By the converse of Pythagoras’ theorem, the angle at $A$ is a right angle. Therefore $\boxed{OAB\text{ is an isosceles right-angled triangle}}$.

也可用复数积的辐角确定原点处的角，再用两条等边确定另外两个角。

As in the first method, $OA=AB=6$. From (b),

Thus $\angle AOB=2\pi/3-5\pi/12=\pi/4$. Since $OA=AB$, the opposite angles at $B$ and $O$ are equal, giving $\angle OBA=\pi/4$. Therefore

so $OAB$ is an isosceles right-angled triangle.

沿用(b)把积的辐角算成 $5\pi/12$，再用(a)的实部与虚部求该角的正切。

Using (b),

From (a), both coordinates of $z\omega$ are positive, so

Therefore