题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the equation $ky=\mathrm{e}^{cx}$ , where $k$ and $c$ are constants. The graph of $\ln y$ against $x$ is a straight line passing through the points $(2.80,0.372)$ and $(5.10,2.21)$ , as shown in the diagram.

Find the values of $k$ and $c$ . Give each value correct to $2$ significant figures.

(4)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足方程 $ky=\mathrm{e}^{cx}$ ，其中 $k$ 和 $c$ 为常数。如图所示， $\ln y$ 对 $x$ 的图像是一条经过点 $(2.80,0.372)$ 和 $(5.10,2.21)$ 的直线。

求 $k$ 和 $c$ 的值。每个值均保留 $2$ 位有效数字。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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取对数得到 $\ln y=cx-\ln k$ 。图上的纵坐标已经是 $\ln y$ ，因此斜率直接给出 $c$ ，截距则是 $-\ln k$ 。

答题过程

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Taking natural logarithms,

\begin{align*} \ln k+\ln y=&\,cx,\\[4mm] \ln y=&\,cx-\ln k. \end{align*}

The gradient of the graph of $\ln y$ against $x$ is therefore $c$ :

c=\frac{2.21-0.372}{5.10-2.80} =\frac{1.838}{2.30} =0.799130\ldots.

Using the point $(2.80,0.372)$ ,

\begin{align*} 0.372=&\,2.80c-\ln k,\\[4mm] \ln k=&\,2.80c-0.372=1.865565\ldots. \end{align*}

Thus $k=e^{1.865565\ldots}=6.459585\ldots$ . To 2 significant figures,

\boxed{c=0.80,\qquad k=6.5}.

CIE 9709 2024 June Paper 33 Q4

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解答

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