(a) 求 $x^3+5x^2-2x-15$ 除以 $x^2-3$ 所得的商和余数。

(b) 变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $x=2$ 时，$y=2$。

解此微分方程，求出 $y^2$ 关于 $x$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先除去最高次项，再除去二次项，余式次数必须小于除式次数。

Subtracting $x(x^2-3)$ from the numerator leaves

Subtracting $5(x^2-3)$ then leaves $x$. Therefore

The quotient is $\boxed{x+5}$ and the remainder is $\boxed{x}$.

分离变量后利用(a)的商与余式拆分。余下的分子是分母导数的一半，积分产生对数。

Separating variables and using (a),

For the last term, let $u=x^2-3$, so $\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x$ and $\int x/(x^2-3)\,\mathrm{d}x=\tfrac12\ln|x^2-3|+C_1$. Integrating both sides gives

The initial condition $x=2$, $y=2$ gives

On the branch containing $x=2$, $x>\sqrt3$, so $x^2-3>0$. Hence

The initial condition selects $y>0$ on the interval around $x=2$ where the right-hand side remains positive.