题目

Problem

The parametric equations of a curve are

x=\mathrm{e}^{\tan t},\quad y=3\tan^2t.

Find the equation of the tangent to the curve at the point $(\mathrm{e},3)$ . Give your answer in the form $y=mx+c$ , where $m$ and $c$ are exact.

(6)

题目中文翻译

一条曲线的参数方程为

x=\mathrm{e}^{\tan t},\quad y=3\tan^2t.

求该曲线在点 $(\mathrm{e},3)$ 处的切线方程。答案写成 $y=mx+c$ 的形式，其中 $m$ 和 $c$ 均取精确值。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

对参数分别求导，相除后约去公共因子。在给定点 $x=e$ 便有 $\tan t=1$ ，不必列出所有参数值。

答题过程

展开

Since $x=e^{\tan t}=e$ at the required point, $\tan t=1$ .

Differentiating,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,e^{\tan t}\sec^2t,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,6\tan t\sec^2t. \end{align*}

Therefore

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{6\tan t\sec^2t}{e^{\tan t}\sec^2t} =\frac{6\tan t}{e^{\tan t}}.

At $(e,3)$ , the gradient is $6/e$ . The tangent is

y-3=\frac6e(x-e),

\boxed{y=\frac6e x-3}.

解法二

思路

展开

先消去参数，得到对数平方的显式函数，再求导求切线。

答题过程

展开

From $x=e^{\tan t}$ , we have $\tan t=\ln x$ . Hence

y=3(\ln x)^2,\qquad x>0.

Differentiating,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{6\ln x}{x}.

At $x=e$ , the gradient is $6/e$ . Thus

y-3=\frac6e(x-e) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{y=\frac6e x-3}.

CIE 9709 2025 June Paper 31 Q4

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程