题目

Problem

The polynomial $3x^3+pax^2+7a^2x+qa^3$ is denoted by $\mathrm{f}(x)$ , where $p$ , $q$ and $a$ are constants and $a\ne0$ .

When $\mathrm{f}(x)$ is divided by $(x+2a)$ the remainder is $-22a^3$ . When $\mathrm{f}(x)$ is divided by $(3x-a)$ the remainder is $-a^3$ .

Find the values of $p$ and $q$ .

(5)

题目中文翻译

将多项式 $3x^3+pax^2+7a^2x+qa^3$ 记为 $\mathrm{f}(x)$ ，其中 $p$ 、 $q$ 和 $a$ 为常数，且 $a\ne0$ 。

$\mathrm{f}(x)$ 除以 $(x+2a)$ 的余数为 $-22a^3$ 。 $\mathrm{f}(x)$ 除以 $(3x-a)$ 的余数为 $-a^3$ 。

求 $p$ 和 $q$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

两次用余式定理，代入各除式的根。所有项都含非零的 $a^3$ ，约去后得到关于 $p,q$ 的联立方程。

答题过程

展开

By the remainder theorem,

f(-2a)=-22a^3.

Thus

\begin{align*} f(-2a)=&\,3(-2a)^3+pa(-2a)^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+7a^2(-2a)+qa^3\\[4mm] =&\,(-24+4p-14+q)a^3\\[4mm] =&\,-22a^3. \end{align*}

Since $a\ne0$ , divide by $a^3$ :

4p+q=16. \tag{1}

The root of $3x-a$ is $x=a/3$ , so

f(a/3)=-a^3.

Substituting,

\begin{align*} f(a/3)=&\,\bigg(\frac19+\frac p9+\frac73+q\bigg)a^3\\[4mm] =&\,-a^3. \end{align*}

Multiplying by $9/a^3$ gives

p+9q=-31. \tag{2}

Using $q=16-4p$ from (1) in (2),

p+9(16-4p)=-31 \quad\Longrightarrow\quad -35p=-175.

Hence

\boxed{p=5,\qquad q=-4}.

CIE 9709 2025 June Paper 31 Q5

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