已知 $z_1=3\mathrm{e}^{\frac14\pi\mathrm{i}}$、$z_2=\frac32\mathrm{e}^{\frac16\pi\mathrm{i}}$ 且 $\omega=2\mathrm{e}^{\frac12\pi\mathrm{i}}$。

(a) 写出 $\omega z_1$ 和 $\omega z_2$ 的值。答案写成 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\le\pi$。

(b) 在以 $O$ 为原点的 Argand 图的草图上，标出分别表示复数 $z_1$、$z_2$、$\omega z_1$ 和 $\omega z_2$ 的点 $A$、$B$、$C$ 和 $D$。

(c) 写出将 $z_1$ 和 $z_2$ 乘以 $\omega$ 所产生的几何效果。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

指数形式相乘时模长相乘、辐角相加，最后确认辐角已在指定主值范围内。

Multiplying moduli and adding arguments,

Both arguments are in $(-\pi,\pi]$.

用每个点的模长与辐角定位。也可用直角坐标检查象限与距离。

Plot and label the four points using

Thus $A,B$ lie in the first quadrant and $C,D$ in the second. Mark the relative distances and angles clearly.

乘数的模长决定伸缩比例，辐角决定旋转角度与方向。

Multiplication by $\omega=2e^{\pi\mathrm{i}/2}$ produces

• an enlargement with centre $O$ and scale factor $2$;
• an anticlockwise rotation through $\pi/2$ about $O$.