题目

Problem

(a) Expand $(6-x)(1-2x)^{-\frac32}$ in ascending powers of $x$ , up to and including the term in $x^2$ , simplifying the coefficients.

(4)

(b) State the set of values of $x$ for which the expansion is valid.

(1)

题目中文翻译

(a) 将 $(6-x)(1-2x)^{-\frac32}$ 按 $x$ 的升幂展开，保留至 $x^2$ 项（包括该项），并化简各项系数。

(4)

(b) 写出使该展开式成立的 $x$ 的取值集合。

(1)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先展开二项式到二次项，再乘一次因子。乘法中只保留会影响二次及以下的项。

答题过程

展开

By the binomial expansion,

\begin{align*} (1-2x)^{-3/2} =&\,1+\bigg(-\frac32\bigg)(-2x)\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{(-3/2)(-5/2)}{2!}(-2x)^2+\cdots\\ =&\,1+3x+\frac{15}{2}x^2+\cdots. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} (6-x)(1-2x)^{-3/2} =&\,(6-x)\bigg(1+3x+\frac{15}{2}x^2+\cdots\bigg)\\ =&\,6+(18-1)x+(45-3)x^2+\cdots\\ =&\,\boxed{6+17x+42x^2+\cdots}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

非整数幂的二项展开要求代入变量绝对值小于一。

答题过程

展开

The expansion requires $|-2x|<1$ . Hence

\boxed{-\frac12<x<\frac12}.

CIE 9709 2025 June Paper 32 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程