变量 $x$ 和 $\theta$ 满足微分方程

且当 $\theta=\frac1{12}\pi$ 时，$x=0$。

解此微分方程，并求出 $x$ 关于 $\theta$ 的表达式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后，左边是一次函数倒数，右边是对数正弦的导数。初值确定比例常数，再把 $x$ 显式解出。

Separating variables,

The derivatives of $4x+3$ and $\sin2\theta$ are $4$ and $2\cos2\theta$, respectively. Thus the logarithmic integrals give

Using $x=0$ at $\theta=\pi/12$,

so $C=\frac14\ln12$.

On the interval $0<\theta<\pi/2$ containing the initial point, $\sin2\theta>0$ and the initial branch has $4x+3>0$. Therefore

Exponentiating,

Hence