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CIE 9709 2025 June Paper 32 Q9

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2025 June Paper 32 Paper · Question 9

题目

Problem

With respect to the origin OO, the points AA, BB and CC have position vectors given by

OA→= (1−42),OB→=(−213),OC→= (235).\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix},\\ \overrightarrow{OC}=&\,\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}. \end{align*}

(a) Find a vector equation for the line through AA and BB.

(2)

(b) Using a scalar product, find the exact value of cos⁡BAC\cos BAC.

(4)

(c) Hence find the exact area of triangle ABCABC.

(3)
题目中文翻译

相对于原点 OO，点 AA、BB 和 CC 的位置向量为

OA→= (1−42),OB→=(−213),OC→= (235).\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix},\\ \overrightarrow{OC}=&\,\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}. \end{align*}

(a) 求经过 AA 和 BB 的直线的一个向量方程。

(2)

(b) 使用数量积，求 cos⁡BAC\cos BAC 的精确值。

(4)

(c) 由此求三角形 ABCABC 的精确面积。

(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 B−AB-A 求方向向量。

答题过程

展开

The direction vector is

AB→=(−2,1,3)−(1,−4,2)=(−3,5,1).\overrightarrow{AB}=(-2,1,3)-(1,-4,2)=(-3,5,1).

Thus the line has equation

r=(1−42)+λ(−351),λ∈R.\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-3\\5\\1\end{pmatrix}, \quad\lambda\in\mathbb R}.

(b)

解法一

思路

展开

角在 AA，所以点积必须用 AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC}，而不是起点不同的一对向量。

答题过程

展开

We have

AB→= (−3,5,1),AC→= (2,3,5)−(1,−4,2)= (1,7,3).\begin{align*} \overrightarrow{AB}=&\,(-3,5,1),\\[4mm] \overrightarrow{AC}=&\,(2,3,5)-(1,-4,2)\\[4mm] =&\,(1,7,3). \end{align*}

Their scalar product is

AB→⋅AC→=−3+35+3=35.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =-3+35+3=35.

Also AB=35AB=\sqrt{35} and AC=59AC=\sqrt{59}. Therefore

cos⁡BAC=353559=3559.\boxed{\cos BAC =\frac{35}{\sqrt{35}\sqrt{59}} =\sqrt{\frac{35}{59}}}.

(c)

解法一

思路

展开

承接(b)求正弦，再与对应的两边一起代入面积公式。

答题过程

展开

Writing ϕ=∠BAC\phi=\angle BAC, we have

sin⁡ϕ=1−cos⁡2ϕ=1−3559=2459.\sin\phi=\sqrt{1-\cos^2\phi} =\sqrt{1-\frac{35}{59}} =\sqrt{\frac{24}{59}}.

Thus

Area⁡(ABC)= 12AB⋅ACsin⁡ϕ= 1235592459= 12840= 210.\begin{align*} \operatorname{Area}(ABC) =&\,\frac12AB\cdot AC\sin\phi\\ =&\,\frac12\sqrt{35}\sqrt{59}\sqrt{\frac{24}{59}}\\ =&\,\frac12\sqrt{840}\\ =&\,\boxed{\sqrt{210}}. \end{align*}