变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $x=\frac12\pi$ 时，$y=\frac1{12}\pi$。

(a) 解此微分方程，求出 $x$ 与 $y$ 之间的关系。

(b) 已知 $0<y<\frac12\pi$，求当 $x=0$ 时 $y$ 的值。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后用二倍角约去 $\sin2y$，左边可直接积分，右边用分部积分。最后代入初值。

Near the initial point, $\sin2y\ne0$. Separating variables,

Since $\sin4y=2\sin2y\cos2y$, the left-hand integral is

For the right-hand side, take $u=x$ and $\mathrm{d}v=\sin3x\,\mathrm{d}x$, so $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ and $v=-\cos3x/3$. Integration by parts gives

Thus

Using $y=\pi/12$ at $x=\pi/2$,

Therefore the required relation is