一条曲线的方程为 $xy+y^2\mathrm{e}^{-x}=4$。

(a) 证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2-y\mathrm{e}^x}{x\mathrm{e}^x+2y}$。

(b) 求当 $x=0$ 时该曲线的切线的斜率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两个乘积都隐式求导，再收集导数项。最后同乘 $e^x$ 得到目标形式。

Differentiating implicitly,

Thus

Multiplying numerator and denominator by $e^x$ gives

也可先把原式乘以 $e^x$ 再求导，最后必须利用原方程消去额外项。

Multiplying the curve equation by $e^x$,

Differentiating,

Hence

The original equation gives $4e^x-xye^x=y^2$. Substituting,

先从原曲线求 $x=0$ 对应的两个点，再分别代入导数。

When $x=0$, the curve equation gives $y^2=4$, so $y=\pm2$.

Using (a),

Thus the tangent gradients are