题目

Problem

With respect to the origin $O$ , the points $A$ , $B$ and $C$ have position vectors given by

\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,\mathbf{i}+2\mathbf{j},\quad \overrightarrow{OB}=\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k},\\ \overrightarrow{OC}=&\,2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}. \end{align*}

The line $l$ passes through $B$ and $C$ .

(a) Find a vector equation for $l$ .

(2)

(b) The point $P$ is the foot of the perpendicular from $A$ to $l$ .

Find the position vector of $P$ .

(4)

Find the position vector of $D$ .

(2)

题目中文翻译

相对于原点 $O$ ，点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的位置向量为

\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,\mathbf{i}+2\mathbf{j},\quad \overrightarrow{OB}=\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k},\\ \overrightarrow{OC}=&\,2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}. \end{align*}

直线 $l$ 经过 $B$ 和 $C$ 。

(a) 求 $l$ 的一个向量方程。

(2)

(b) 点 $P$ 是从 $A$ 向 $l$ 作垂线所得的垂足。

求 $P$ 的位置向量。

(4)

求 $D$ 的位置向量。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

由 $C-B$ 确定直线方向。

答题过程

展开

The direction vector is

\overrightarrow{BC}=(2,-1,3)-(1,3,-2)=(1,-4,5).

Therefore

\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix}, \quad\lambda\in\mathbb R}.

(b)

解法一

思路

展开

设直线上的一般点，令 $\overrightarrow{AP}$ 与直线方向的点积为零。

答题过程

展开

Let

\overrightarrow{OP}=(1+\lambda,\ 3-4\lambda,\ -2+5\lambda).

Then

\overrightarrow{AP}=(\lambda,\ 1-4\lambda,\ -2+5\lambda).

Perpendicularity gives

\lambda-4(1-4\lambda)+5(-2+5\lambda)=0,

so $42\lambda-14=0$ , giving $\lambda=1/3$ .

Substituting $\lambda=1/3$ ,

\overrightarrow{OP} =\bigg(1+\frac13,\ 3-\frac43,\ -2+\frac53\bigg).

Therefore

\boxed{\overrightarrow{OP} =\frac43\mathbf i+\frac53\mathbf j-\frac13\mathbf k}.

(c)

解法一

思路

展开

垂足是原来的点 $A$ 与反射点之间线段的中点，因此反射点的位置向量为两倍垂足的位置向量减去点 $A$ 的位置向量。

答题过程

展开

Since $P$ is the midpoint of $AD$ ,

\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}.

Using (b),

\begin{align*} \overrightarrow{OD} =&\,2\bigg(\frac43,\frac53,-\frac13\bigg)-(1,2,0)\\ =&\,\boxed{\frac53\mathbf i+\frac43\mathbf j-\frac23\mathbf k}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 33 Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程