题目

Problem

The diagram shows the locus of points representing the complex numbers, $z$ , satisfying $|z+5-4\mathrm{i}|=3$ .

(a) For the points on this locus, determine the maximum and minimum possible values of $|z|$ .

(3)

(b) For the points on this locus, determine the minimum possible value of $\arg z$ .

(3)

题目中文翻译

图中显示了表示满足 $|z+5-4\mathrm{i}|=3$ 的复数 $z$ 的点的轨迹。

(a) 对于此轨迹上的点，求 $|z|$ 可能的最大值和最小值。

(3)

(b) 对于此轨迹上的点，求 $\arg z$ 可能的最小值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

圆心到原点的距离为 $\sqrt{41}$ ，原点在圆外。最近与最远点都在原点和圆心的连线上。

答题过程

展开

The locus is the circle with centre $K=(-5,4)$ and radius $3$ .

The distance from the origin to its centre is

OK=\sqrt{(-5)^2+4^2}=\sqrt{41}>3.

The nearest and farthest points lie on the line through $O$ and $K$ . Therefore

\begin{align*} \min|z|=&\,\boxed{\sqrt{41}-3},\\[4mm] \max|z|=&\,\boxed{\sqrt{41}+3}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

最小辐角对应从原点向圆作的较低角度切线。圆心在第二象限，先确定圆心辐角，再减去切线与圆心连线的夹角。

答题过程

展开

Let $T$ be the tangency point giving the smaller argument. Since $KT\perp OT$ , triangle $OKT$ is right-angled and

\angle KOT=\sin^{-1}\frac3{\sqrt{41}}.

The centre has argument

\arg(-5+4\mathrm{i})=\pi-\tan^{-1}\frac45.

Thus

\begin{align*} \min\arg z =&\,\pi-\tan^{-1}\frac45-\sin^{-1}\frac3{\sqrt{41}}\\ =&\,1.979235\ldots\\ =&\,\boxed{1.98\text{ radians}}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 35 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程