多项式 $ax^3-11x^2+bx+4$ 记为 $\mathrm{p}(x)$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $(x-2)$ 是 $\mathrm{p}(x)$ 的一个因式，且 $\mathrm{p}'(x)$ 除以 $(x-2)$ 的余数为 $24$。

(a) 求 $a$ 和 $b$ 的值。

(b) (i) 当 $a$ 和 $b$ 取上述值时，将 $\mathrm{p}(x)$ 完全因式分解。

(ii) 由此解不等式 $\mathrm{p}(x)\ge0$。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

由因式定理得到 $\mathrm p(2)=0$。对导函数应用余式定理，得到 $\mathrm p'(2)=24$，联立求参数。

The factor condition gives

Also $\mathrm p'(x)=3ax^2-22x+b$, so the remainder condition gives

Subtracting the equations gives $8a=48$, hence $a=6$ and $b=-4$.

除去已知因式 $x-2$ 后，继续分解得到的二次式。

With the values found in part (a), $\mathrm p(x)=6x^3-11x^2-4x+4$. Since $x-2$ is a factor, write $\mathrm p(x)=(x-2)(6x^2+Bx+C)$. Expanding gives

Comparing coefficients gives $B-12=-11$, so $B=1$, and $-2C=4$, so $C=-2$. The $x$ coefficient is then $C-2B=-4$, as required. Hence

三个根都是单根，首项系数为正。按根从小到大分区间判断三个因子的乘积符号，并包含等号。

The roots are $-2/3$, $1/2$ and $2$. The sign of $\mathrm p(x)$ on the four successive intervals is negative, positive, negative, positive. Including the zeros, the solution is