题目

Problem

(a) By differentiating $\frac{\cos4x}{\sin4x}$ , show that if $y=\cot4x$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-4\operatorname{cosec}^2 4x$ .

(3)

(b) The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

\mathrm{e}^{(3x+2)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sin^2 4y.

It is given that $y=\frac1{16}\pi$ when $x=-\frac23$ .

Solve the differential equation, and find the value of $y$ in the range $-\frac18\pi\le y\le0$ when $x=1$ .

(6)

题目中文翻译

(a) 通过对 $\frac{\cos4x}{\sin4x}$ 求导，证明若 $y=\cot4x$ ，则 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-4\operatorname{cosec}^2 4x$ 。

(3)

(b) 变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

\mathrm{e}^{(3x+2)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sin^2 4y.

已知当 $x=-\frac23$ 时， $y=\frac1{16}\pi$ 。

解这个微分方程，并求当 $x=1$ 时，范围 $-\frac18\pi\le y\le0$ 内的 $y$ 值。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题目勘误

官方原题：给定 $x=-\frac23$ 时 $y=\frac{\pi}{16}>0$ ，并要求当 $x=1$ 时，求范围 $-\frac{\pi}{8}\le y\le0$ 内的 $y$ 值。官方评分标准给出 $y\approx-0.314$ 。

实际上应为：微分方程满足 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\mathrm{e}^{-3x-2}\sin^2(4y)\ge0$ ，因此满足上述初始条件的连续解不能在 $x=1$ 时取负数；该解在 $x=1$ 时约为 $0.471110$ 。评分标准中的负数值属于另一分支，与初始条件不相容。本页按确认保留官方原文与忠实翻译，未改动题面。

解答

(a)

解法一

思路

展开

按题目要求把余切写成商，使用商法则。分子中的 $\sin^2+\cos^2$ 化为 $1$ 。

答题过程

展开

With $y=\cos4x/\sin4x$ , the quotient rule gives

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{(-4\sin4x)\sin4x-\cos4x(4\cos4x)} {\sin^24x}\\[4mm] =&\,-\frac4{\sin^24x}\\[4mm] =&\,-4\operatorname{cosec}^24x. \end{align*}

CIE 9709 2026 June Paper 31 Q11

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程