题目

Problem

The square roots of $-71-(20\sqrt3)\mathrm{i}$ can be expressed in the Cartesian form $x+\mathrm{i}y$ , where $x$ and $y$ are real and exact.

By first forming a quartic equation, find the square roots of $-71-(20\sqrt3)\mathrm{i}$ . Give your answer in exact Cartesian form.

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题目中文翻译

$-71-(20\sqrt3)\mathrm{i}$ 的平方根可以表示为直角坐标形式 $x+\mathrm{i}y$ ，其中 $x$ 和 $y$ 均为精确的实数。

先建立一个四次方程，再求 $-71-(20\sqrt3)\mathrm{i}$ 的平方根。答案写成精确的直角坐标形式。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

平方后比较实部与虚部。消去 $y$ 得到关于 $x$ 的四次方程，求实数 $x$ 时排除负的 $x^2$ 。

答题过程

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If $(x+\mathrm{i}y)^2=-71-20\sqrt3\,\mathrm{i}$ , then

\begin{align*} x^2-y^2=&\,-71,\\[4mm] xy=&\,-10\sqrt3. \end{align*}

Since $xy\ne0$ , $y=-10\sqrt3/x$ . Substituting gives

\begin{align*} x^2-\frac{300}{x^2}=&\,-71,\\[4mm] x^4+71x^2-300=&\,0,\\[4mm] (x^2-4)(x^2+75)=&\,0. \end{align*}

For real $x$ , this gives $x=2$ or $-2$ . The equation for $xy$ then gives $y=-5\sqrt3$ or $5\sqrt3$ , respectively. The square roots are

2-5\sqrt3\,\mathrm{i},\qquad -2+5\sqrt3\,\mathrm{i}.

CIE 9709 2026 June Paper 31 Q4

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