题目

Problem

The points $A$ and $B$ have position vectors $\begin{pmatrix}2\\-5\\3\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}-6\\4\\1\end{pmatrix}$ respectively.

The line $t$ passes through the points $A$ and $B$ .

(a) Find a vector equation for $t$ .

(2)

The line $s$ has equation

\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.

(b) Determine whether $s$ and $t$ are parallel, intersect or are skew.

(5)

题目中文翻译

点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\begin{pmatrix}2\\-5\\3\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}-6\\4\\1\end{pmatrix}$ 。

直线 $t$ 经过点 $A$ 和 $B$ 。

(a) 求直线 $t$ 的一个向量方程。

(2)

直线 $s$ 的方程为

\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.

(b) 判断直线 $s$ 和 $t$ 是平行、相交还是异面。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

直线经过 $A$ 、 $B$ ，方向向量可以取位置向量之差 $\overrightarrow{AB}$ 。

答题过程

展开

The direction vector is

\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}-6\\4\\1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\-5\\3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-8\\9\\-2\end{pmatrix}.

Thus

t:\quad\mathbf r= \begin{pmatrix}2\\-5\\3\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-8\\9\\-2\end{pmatrix}, \qquad \lambda\in\mathbb R.

(b)

解法一

思路

展开

先比较方向向量判断是否平行。若不平行，令两条直线的三个坐标相等，用其中两个方程求参数，再检查第三个。

答题过程

展开

The direction vectors $(-8,9,-2)$ and $(-1,2,-1)$ are not proportional, so the lines are not parallel. At an intersection the coordinates would satisfy

\begin{align*} 2-8\lambda=&\,1-\mu,\\[4mm] -5+9\lambda=&\,3+2\mu,\\[4mm] 3-2\lambda=&\,4-\mu. \end{align*}

The first equation gives $\mu=8\lambda-1$ . Substituting into the second gives

\begin{align*} -5+9\lambda=&\,3+2(8\lambda-1),\\[4mm] -7\lambda=&\,6,\\[4mm] \lambda=&\,-\frac67,\\[4mm] \mu=&\,8\bigg(-\frac67\bigg)-1=-\frac{55}{7}. \end{align*}

The third coordinate would then be $33/7$ on $t$ and $83/7$ on $s$ . These differ, so the lines do not intersect. Since they are also not parallel, they are skew.

CIE 9709 2026 June Paper 31 Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程