(a) 将 $\frac{x+3}{(x-1)(2x-6)}$ 表示为部分分式。

(b) 变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $x=4$ 时，$y=1$。

解这个微分方程，得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的方程。

Answer all questions. Write your answers on the answer booklet. Follow the instructions on the front cover of the answer booklet. If you need additional answer paper, ask the invigilator for a continuation booklet.

You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。在答题册上作答，并遵守答题册封面的指示。如需额外答题纸，请向监考人员索取续答册。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分母有两个不同的一次因式，先设两个部分分式。乘去分母后，分别代入使其中一个因式为零的 $x$ 值。

Write

Then $x+3=A(2x-6)+B(x-1)$. At $x=1$, $4=-4A$, so $A=-1$. At $x=3$, $6=2B$, so $B=3$. Hence the decomposition is

分离变量后，右边可直接使用 (a) 的部分分式。左边的 $\ln(2y)$ 用分部积分，再代入初值。

On the solution through $(4,1)$, separation gives

For the left side, use integration by parts with $u=\ln(2y)$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}y/y$ and $v=y$:

Therefore, on the interval $x>3$ containing the initial point,

Using $x=4$, $y=1$ gives

The required equation is

on the branch through $(4,1)$ where the original differential equation is defined.