题目

Problem

The complex numbers $s$ and $t$ are given by

s=3(\cos2+\mathrm{i}\sin2)\quad\text{and}\quad t=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}}.

(a) Express $st$ in the form $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , where $-\pi<\theta\le\pi$ and $r>0$ .

(2)

(b) In an Argand diagram with origin $O$ , the points $A$ and $B$ represent the complex numbers $s$ and $st$ respectively.

By considering the line segments $OA$ and $OB$ , or otherwise, state the two geometric effects on $OA$ of multiplying $s$ by $t$ .

(2)

题目中文翻译

复数 $s$ 和 $t$ 为

s=3(\cos2+\mathrm{i}\sin2),\quad t=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}}.

(a) 将 $st$ 表示为 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式，其中 $-\pi<\theta\le\pi$ 且 $r>0$ 。

(2)

(b) 在以 $O$ 为原点的 Argand 图中，点 $A$ 和 $B$ 分别表示复数 $s$ 和 $st$ 。

通过考虑线段 $OA$ 和 $OB$ ，或使用其他方法，写出将 $s$ 乘以 $t$ 对 $OA$ 产生的两个几何效果。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. Write your answers on the answer booklet. Follow the instructions on the front cover of the answer booklet. If you need additional answer paper, ask the invigilator for a continuation booklet.

You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。在答题册上作答，并遵守答题册封面的指示。如需额外答题纸，请向监考人员索取续答册。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

把 $s$ 写成指数形式。复数相乘时模长相乘、辐角相加。

答题过程

展开

We have $s=3e^{2\mathrm{i}}$ and $t=2e^{-\mathrm{i}}$ . Thus

st=6e^{\mathrm{i}},

whose modulus is positive and argument $1$ lies in $(-\pi,\pi]$ .

(b)

解法一

思路

展开

乘数 $t$ 的模长给出缩放倍数，辐角给出旋转角度及方向。

答题过程

展开

Multiplication by $t$ doubles the length of $OA$ and rotates it clockwise through $1$ radian about $O$ .

CIE 9709 2026 June Paper 32 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程