点 $A$ 和 $B$ 的位置向量分别为 $\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}$。

直线 $m$ 经过点 $A$ 和 $B$。

(a) 求直线 $m$ 的一个向量方程。

直线 $l$ 的方程为

(b) 判断直线 $l$ 和 $m$ 是平行、相交还是异面。

(c) 点 $P$ 在直线 $l$ 上，且角 $PAB=60^\circ$。

求 $P$ 的位置向量。

Answer all questions. Write your answers on the answer booklet. Follow the instructions on the front cover of the answer booklet. If you need additional answer paper, ask the invigilator for a continuation booklet.

You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。在答题册上作答，并遵守答题册封面的指示。如需额外答题纸，请向监考人员索取续答册。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用 $\overrightarrow{AB}$ 作方向向量，以 $A$ 作直线上的固定点。

The direction vector is $\overrightarrow{AB}=(1,-1,0)$. Thus

先比较方向向量。相交时三个坐标必须同时相等，检查前两个坐标就能得到矛盾。

The direction vectors $(1,-1,0)$ and $(1,-1,-2)$ are not proportional, so the lines are not parallel. Equating the first two coordinates at a possible intersection gives

These require both $\lambda-\mu=3$ and $\lambda-\mu=5$, a contradiction. Therefore the lines do not intersect and are skew.

用直线参数表示 $P$，计算 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的数量积。平方后求参数时，须回代原来的角度条件排除钝角根。

For $P$ on $l$,

Their dot product is $8+2\mu$, and $|\overrightarrow{AP}|^2=6\mu^2+32\mu+50$. Since the angle is $60^\circ$,

Squaring and rearranging gives

The original positive cosine requires $8+2\mu>0$, which excludes $\mu=-13$. Thus $\mu=-3$, giving the position vector