题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

4\mathrm{e}^{2x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x(y+3)

for $y>-3$ . It is given that $y=-2$ when $x=0$ .

Solve the differential equation and obtain an expression for $y$ in terms of $x$ .

(8)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

4\mathrm{e}^{2x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x(y+3),

其中 $y>-3$ 。已知当 $x=0$ 时， $y=-2$ 。

解这个微分方程，得到用 $x$ 表示 $y$ 的表达式。

(8)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

分离变量后，左边用对数积分，右边使用分部积分。代入初值确定常数，再取指数得到显式表达式。

答题过程

展开

Since $y>-3$ , separation gives

\frac{\mathrm{d}y}{y+3}=\frac14xe^{-2x}\,\mathrm{d}x.

Using $u=x$ and $\mathrm{d}v=e^{-2x}\,\mathrm{d}x$ , so $v=-e^{-2x}/2$ , integration by parts gives

\begin{align*} \int xe^{-2x}\,\mathrm{d}x =&\,-\frac12xe^{-2x}+\frac12\int e^{-2x}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,-\frac12xe^{-2x}-\frac14e^{-2x}+C_1. \end{align*}

Therefore

\ln(y+3)=-\frac18xe^{-2x}-\frac1{16}e^{-2x}+C.

Using $y=-2$ at $x=0$ gives $0=-1/16+C$ , so $C=1/16$ . Thus

y=\exp\bigg(\frac{1-(2x+1)e^{-2x}}{16}\bigg)-3.

This satisfies $y>-3$ .

CIE 9709 2026 June Paper 33 Q10

题目

解答

解法一

思路

答题过程