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CIE 9709 2026 June Paper 33 Q4

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2026 June Paper 33 Paper · Question 4

题目

Problem

Solve the equation cos⁡(2θ−45∘)+sin⁡(2θ−45∘)+1=0\cos(2\theta-45^\circ)+\sin(2\theta-45^\circ)+1=0 for −180∘≤θ≤180∘-180^\circ\le\theta\le180^\circ.

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题目中文翻译

解方程 cos⁡(2θ−45∘)+sin⁡(2θ−45∘)+1=0\cos(2\theta-45^\circ)+\sin(2\theta-45^\circ)+1=0，其中 −180∘≤θ≤180∘-180^\circ\le\theta\le180^\circ。

(6)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

用复角公式分别展开两个三角函数，其中的 cos⁡2θ\cos2\theta 项会抵消。再在完整角度范围内求正弦方程的所有解。

答题过程

展开

Using the compound-angle formulae,

cos⁡(2θ−45∘)+sin⁡(2θ−45∘)= cos⁡2θ+sin⁡2θ2 +sin⁡2θ−cos⁡2θ2= 2sin⁡2θ.\begin{align*} \cos(2\theta-45^\circ)+\sin(2\theta-45^\circ) =&\,\frac{\cos2\theta+\sin2\theta}{\sqrt2}\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{\sin2\theta-\cos2\theta}{\sqrt2}\\ =&\,\sqrt2\sin2\theta. \end{align*}

Thus sin⁡2θ=−1/2\sin2\theta=-1/\sqrt2. For −360∘≤2θ≤360∘-360^\circ\le2\theta\le360^\circ, the solutions are

2θ=−135∘, −45∘, 225∘, 315∘.2\theta=-135^\circ,\ -45^\circ,\ 225^\circ,\ 315^\circ.

Hence

θ=−67.5∘, −22.5∘, 112.5∘, 157.5∘.\theta=-67.5^\circ,\ -22.5^\circ,\ 112.5^\circ,\ 157.5^\circ.