题目

Problem

(a) The parametric equations of a curve are

x=\tan2t,\qquad y=\frac1{\sin2t}.

Show that $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ can be written as $\frac{A\cos2t}{\tan^2 2t}$ , where $A$ is a constant to be found.

(5)

(b) Find an exact equation of the tangent to the curve at the point where $t=\frac\pi8$ .

(4)

题目中文翻译

(a) 一条曲线的参数方程为

x=\tan2t,\qquad y=\frac1{\sin2t}.

证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 可以写成 $\frac{A\cos2t}{\tan^2 2t}$ ，其中 $A$ 是待求的常数。

(5)

(b) 求曲线上 $t=\frac\pi8$ 对应的点处的切线的精确方程。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别对参数求导，再求两者之比。将正割与余割写成正弦、余弦，整理成题给形式。

答题过程

展开

The parameter derivatives are

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,2\sec^22t,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,-(\sin2t)^{-2}(2\cos2t)\\[4mm] =&\,-\frac{2\cos2t}{\sin^22t}. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{-2\cos2t/\sin^22t}{2\sec^22t}\\[4mm] =&\,-\frac{\cos2t\cos^22t}{\sin^22t}\\[4mm] =&\,-\frac{\cos2t}{\tan^22t}. \end{align*}

The constant is $A=-1$ .

(b)

解法一

思路

展开

先求切点，再把参数代入上一问的导数式。用点斜式写出精确的切线方程。

答题过程

展开

At $t=\pi/8$ , the point is $(1,\sqrt2)$ and the gradient is $-\cos(\pi/4)/\tan^2(\pi/4)=-1/\sqrt2$ . Thus the tangent is

y-\sqrt2=-\frac1{\sqrt2}(x-1),

Multiplying by $\sqrt2$ gives $\sqrt2\,y-2=-x+1$ , so $x+\sqrt2\,y=3$ .

CIE 9709 2026 June Paper 33 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程