(a) 通过画出合适的两个函数图像的草图，证明方程 $x^3=4-2x$ 恰有一个实根。

(b) 证明：若由迭代公式

给出的实数数列收敛，则它收敛于 8(a) 中方程的根。

(c) 通过计算证明这个根位于 $1$ 与 $2$ 之间。

(d) 使用 8(b) 中的迭代公式计算这个根，答案精确到小数点后 $2$ 位。每次迭代的结果保留小数点后 $5$ 位。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

画严格递增的立方函数与递减直线。两图从左右两端交换上下位置，且最多相交一次。

Sketch $y=x^3$ and $y=4-2x$ on the same axes. The cubic increases from $-\infty$ to $+\infty$, while the straight line decreases and crosses the axes at $(0,4)$ and $(2,0)$. They therefore have exactly one intersection, so the equation has exactly one real root.

若迭代收敛，则相邻项趋于相同极限。分母始终为正，可以直接乘去，再整理固定点方程。

If $x_n\to L$, continuity gives

Since $4L^2+2>0$, multiplying gives

By part (a), this is the unique real root.

用连续多项式检查区间两端的符号。

Let $f(x)=x^3+2x-4$. Then $f(1)=-1<0$ and $f(2)=8>0$. Since $f$ is continuous, its root lies between $1$ and $2$.

从 $x_0=1$ 开始迭代。内部保留精度，表中写五位小数，直到两位小数的结论稳定。

Using $x_0=1$, the iterations are

The root is $1.18$ to two decimal places.