题目
Problem
Let f(x)=(3x+1)(x2+4)36−4x−3x2.
(a) Express f(x) in partial fractions.
(5)
(b) Hence, obtain the expansion of f(x) in ascending powers of x, up to and including the term in x3.
(4)
(c) State the set of values of x for which the expansion is valid.
(1)
题目中文翻译
设 f(x)=(3x+1)(x2+4)36−4x−3x2。
(a) 将 f(x) 表示为部分分式。
(5)
(b) 由此求 f(x) 按 x 的升幂排列的展开式，写至并包括 x3 项。
(4)
(c) 写出这个展开式成立时 x 的取值集合。
(1)
原卷通用作答要求
Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.
You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.
Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.
请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。
解答
(a)
解法一
思路
展开
一次因式对应常数分子，不可约二次因式对应一次分子。先设形式，再乘去分母比较系数。
答题过程
展开
Write
f(x)=3x+1A+x2+4Bx+C.
Then
36−4x−3x2=A(x2+4)+(Bx+C)(3x+1).
Comparing coefficients gives
A+3B=B+3C=4A+C=−3,−4,36.
From the last two equations, C=36−4A and B=−112+12A. Substituting into the first gives 37A−336=−3, so A=9. Hence C=0 and B=−4. Therefore
f(x)=3x+19−x2+44x.
(b)
解法一
思路
展开
利用 (a) 的分式分解，把分母整理为 1+ 小量的形式。分别展开后，保留至 x3 并合并。
答题过程
展开
Using the geometric series,
1+3x9=9(1−3x+9x2−27x3)+O(x4).
For the second fraction,
−x2+44x===−x(1+4x2)−1−x(1−4x2+O(x4))−x+4x3+O(x5).
Adding gives
f(x)=9−28x+81x2−4971x3+O(x4).
(c)
解法一
思路
展开
两个级数都必须收敛，所以取它们有效区间的交集。
答题过程
展开
The two expansions require ∣3x∣<1 and ∣x2/4∣<1. Together these give ∣x∣<1/3.
