一条曲线的方程为 $y=\frac{\sin2x}{3+\cos x}$，其中 $0<x<\pi$。

(a) 将 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 表示为用 $\cos x$ 表示的最简分式。

(b) 由此求曲线上 $x=\frac12\pi$ 对应的点处的法线方程。答案写成精确形式。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

使用商法则后，将二倍角的正弦、余弦都换成 $\sin x$、$\cos x$，再消去 $\sin^2x$。

The quotient rule gives

With $c=\cos x$, use $\cos2x=2c^2-1$ and $\sin2x\sin x=2(1-c^2)c$. The numerator becomes

Therefore

代入 $x=\pi/2$ 求切线梯度，法线梯度是它的负倒数。原曲线此时经过 $y=0$。

At $x=\pi/2$, $y=0$ and the tangent gradient is $-6/9=-2/3$. The normal gradient is $3/2$. Thus the normal is