一条曲线在任意一点处的斜率与该点的 $y$ 坐标成正比。曲线经过点 $(2,\mathrm{e}^2)$ 和 $(5,\mathrm{e}^3)$。

建立并求解一个微分方程，求用 $x$ 表示的 $y$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将“梯度与 $y$ 成正比”写成微分方程。分离变量积分，再用两点同时求比例常数和积分常数。

Let the proportionality constant be $c$. Then

On the branch through the given positive values, separate variables and integrate:

Substituting the two points,

Subtracting the first equation from the second gives $1=3c$, so $c=1/3$. Substituting back gives $C=2-2/3=4/3$. The required solution is $y=e^{(x+4)/3}$.