(a) 通过画出合适的两个函数图像的草图，证明方程 $\sec\big(\frac13x\big)=3\mathrm{e}^{-x}$ 在区间 $0<x<\pi$ 内恰有一个根。

(b) 将这个根记为 $\alpha$。证明 $1<\alpha<1.1$。

(c) 证明：若由公式

给出的正数数列收敛，则它收敛于 $\alpha$。

(d) 使用这个迭代公式，以 $x_1=1$ 为初始值，计算 $\alpha$，答案精确到小数点后 $3$ 位。每次迭代的结果保留小数点后 $5$ 位。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

正割函数在这个区间递增，而指数函数递减。比较两端的高低位置，图像只能相交一次。

Sketch $y=\sec(x/3)$ and $y=3e^{-x}$ on $0<x<\pi$. Their limiting values at $0$ are $1$ and $3$. At $\pi$, the secant curve reaches $2$, while $3e^{-\pi}<1$. The secant curve increases and the exponential curve decreases throughout the interval, so they have exactly one intersection.

计算两条曲线的差，并利用连续性检查根的两侧。

Put $f(x)=\sec(x/3)-3e^{-x}$. In radians,

The function is continuous on $[1,1.1]$, so $1<\alpha<1.1$.

收敛时相邻两项极限相同。先去掉对数，再取倒数还原原方程。

If the positive sequence converges to $L$, its terms after the first satisfy $x_n\le\ln3<\pi$. Continuity therefore gives

The equation excludes $L=0$. Since $0<L\le\ln3<\pi$, the cosine is positive. Taking reciprocals and multiplying by $3$ gives

Thus $L$ is the unique root $\alpha$.

按指定的 $x_1=1$ 开始，以弧度计算。保留内部精度，逐项记录五位小数。

The iterates are

Hence $\alpha=1.038$ to three decimal places.