CalcGospel 國際數學圖譜
返回

CIE 9709 2022 November Paper 31 Q10

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2022 Nov Paper 31 Paper · Question 10

题目

Problem

Let f(x)=2x2+7x+8(1+x)(2+x)2\mathrm{f}(x)=\dfrac{2x^2+7x+8}{(1+x)(2+x)^2}.

(a) Express f(x)\mathrm{f}(x) in partial fractions.

(5)

(b) Hence obtain the expansion of f(x)\mathrm{f}(x) in ascending powers of xx, up to and including the term in x2x^2.

(5)
题目中文翻译

设 f(x)=2x2+7x+8(1+x)(2+x)2\mathrm{f}(x)=\dfrac{2x^2+7x+8}{(1+x)(2+x)^2}。

(a) 将 f(x)\mathrm{f}(x) 表示为部分分式。

(5)

(b) 由此求 f(x)\mathrm{f}(x) 按 xx 的升幂排列的展开式，展开至并包括 x2x^2 项。

(5)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

重复的一次因子对应两个分式。清分母后代入 x=−1,−2x=-1,-2，再比较二次项系数。

答题过程

展开

Write

f(x)=A1+x+B2+x+C(2+x)2.\mathrm f(x)=\frac{A}{1+x}+\frac{B}{2+x}+\frac{C}{(2+x)^2}.

Then

2x2+7x+8= A(2+x)2 +B(1+x)(2+x) +C(1+x).\begin{align*} 2x^2+7x+8=&\,A(2+x)^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+B(1+x)(2+x)\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+C(1+x). \end{align*}

At x=−1x=-1, 3=A3=A. At x=−2x=-2, 2=−C2=-C, so C=−2C=-2.

Comparing coefficients of x2x^2, 2=A+B2=A+B, so B=−1B=-1. Therefore

f(x)=31+x−12+x−2(2+x)2.\boxed{\mathrm f(x)=\frac3{1+x}-\frac1{2+x}-\frac2{(2+x)^2}}.

(b)

解法一

思路

展开

承接(a)，每个分式展开到二次项后相加，注意常数 22 提出后的分母平方带来因子 1/41/4。

答题过程

展开

For the binomial expansions, (1+u)−1=1−u+u2+⋯(1+u)^{-1}=1-u+u^2+\cdots and (1+u)−2=1−2u+3u2+⋯(1+u)^{-2}=1-2u+3u^2+\cdots. Using part (a),

31+x=3(1−x+x2+⋯ ),\frac3{1+x}=3(1-x+x^2+\cdots), −12+x=−12(1−x2+x24+⋯),-\frac1{2+x} =-\frac12\bigg(1-\frac x2+\frac{x^2}{4}+\cdots\bigg),

and

−2(2+x)2=−12(1−x+34x2+⋯).-\frac2{(2+x)^2} =-\frac12\bigg(1-x+\frac34x^2+\cdots\bigg).

Adding,

f(x)= (3−12−12) +(−3+14+12)x +(3−18−38)x2+⋯= 2−94x+52x2+⋯.\begin{align*} \mathrm f(x) =&\,\bigg(3-\frac12-\frac12\bigg)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\bigg(-3+\frac14+\frac12\bigg)x\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\bigg(3-\frac18-\frac38\bigg)x^2+\cdots\\[4mm] =&\,\boxed{2-\frac94x+\frac52x^2+\cdots}. \end{align*}

The common range of validity is ∣x∣<1|x|<1.