图中，$OABCD$ 是一个立体图形，其中 $OA=OB=4$ 个单位长度，$OD=3$ 个单位长度。棱 $OD$ 竖直，$DC$ 平行于 $OB$，且 $DC=1$ 个单位长度。底面 $OAB$ 水平，且角 $AOB=90^\circ$。单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 分别平行于 $OA$、$OB$ 和 $OD$。$M$ 为 $AB$ 的中点，$BC$ 上的点 $N$ 满足 $CN=2NB$。

(a) 用 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 表示向量 $\overrightarrow{MD}$ 和 $\overrightarrow{ON}$。

(b) 求 $\overrightarrow{MD}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 的方向之间的夹角，答案以度为单位。

(c) 证明从 $M$ 到 $ON$ 的垂线长为 $\sqrt{\dfrac{22}{5}}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先根据单位向量方向写出关键点坐标，再用中点与内分比例。$CN=2NB$ 表示从 $C$ 到 $B$ 走全长的 $2/3$。

The position vectors are

Since $DC$ is parallel to $OB$ and has length $1$,

As $M$ is the midpoint of $AB$,

Therefore

Also $CN=2NB$, so

要求的是两个向量方向之间的角，点积为负意味着钝角，不应取绝对值。

Using part (a),

Also $|\overrightarrow{MD}|=\sqrt{17}$ and $|\overrightarrow{ON}|=\sqrt{10}$. Hence

设垂足 $P$ 在 $ON$ 上，用 $\overrightarrow{MP}$ 与 $ON$ 方向垂直求参数，再计算长度。

Let $\overrightarrow{OP}=\lambda(0,3,1)$. Since $M=(2,2,0)$,

For perpendicularity,

so

Thus

Therefore

把点到直线上任意点的距离平方配成完全平方，最小值直接给出垂直距离。

For $P=(0,3\lambda,\lambda)$ on $ON$,

Its minimum is $22/5$, at $\lambda=3/5$. Equivalently, $\dfrac{\mathrm{d}(MP^2)}{\mathrm{d}\lambda}=20\lambda-12=0$ gives the same parameter, with positive second derivative $20$. Therefore the perpendicular distance is

也可先求 $\overrightarrow{OM}$ 沿 $ON$ 的投影，再用勾股定理得到垂直分量长度。

We have $\overrightarrow{OM}=(2,2,0)$ and a direction vector for $ON$ is $\mathbf d=(0,3,1)$.

The projection length is

Since $OM^2=2^2+2^2=8$, the squared perpendicular distance is

Thus the perpendicular length is $\boxed{\sqrt{22/5}}$.