复数 $u$ 和 $w$ 定义为 $u=2\mathrm{e}^{\frac14\pi\mathrm{i}}$ 和 $w=3\mathrm{e}^{\frac13\pi\mathrm{i}}$。

(a) 求 $\dfrac{u^2}{w}$，将答案表示为 $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ 的形式，其中 $r>0$ 且 $-\pi<\theta\le\pi$。给出 $r$ 和 $\theta$ 的精确值。

(b) 写出使 $\operatorname{Im}w^n=0$ 和 $\operatorname{Re}w^n>0$ 同时成立的最小正整数 $n$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

复数平方时模平方、辐角加倍；相除时模相除、辐角相减，最后检查主值范围。

Since $u=2e^{\pi\mathrm{i}/4}$,

Therefore

The argument $\pi/6$ lies in $(-\pi,\pi]$. Thus $\boxed{r=4/3,\quad\theta=\pi/6}$.

虚部为零且实部为正，表示 $w^n$ 在正实轴上，辐角必须是 $2\pi$ 的整数倍，而不仅是 $\pi$ 的整数倍。

We have $w^n=3^n e^{n\pi\mathrm{i}/3}$. It is positive and real exactly when

The least positive value is $\boxed{n=6}$.