在某个化学反应中，一种物质的量为 $x$ 克，且正在增加。$x$ 与反应开始后经过的时间 $t$（单位为秒）满足微分方程

其中 $k$ 为正常数。已知反应开始时 $x=20$。

(a) 解此微分方程，求 $x$、$t$ 和 $k$ 之间的关系。

(b) 已知当 $t=10$ 时，$x=40$，求 $k$ 的值，以及当 $t$ 变得很大时 $x$ 趋近的值。

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请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量并积分。由于物质量为正，直接使用 $\ln x$；用 $t=0,x=20$ 求常数。

Separating variables,

Since $x>0$, and the derivative of $e^{-0.1t}$ is $-0.1e^{-0.1t}$, integration gives

Using $x=20$ at $t=0$,

Hence

Equivalently, $x=20e^{10k(1-e^{-0.1t})}$.

先代入第二组数据求 $k$。当时间趋于无穷时，衰减指数趋于零，因此物质量趋于有限极限。

Using $x=40$ at $t=10$ in part (a),

Thus

to 3 significant figures, with $10k=1.096542\ldots$.

As $t\to\infty$, $e^{-0.1t}\to0$, so

Therefore $\boxed{x\to59.9\text{ grams}}$.