题目

Problem

The diagram shows part of the curve $y=(3-x)\mathrm{e}^{-\frac13x}$ for $x\ge0$ , and its minimum point $M$ .

(a) Find the exact coordinates of $M$ .

(5)

(b) Find the area of the shaded region bounded by the curve and the axes, giving your answer in terms of $\mathrm{e}$ .

(5)

题目中文翻译

图中显示了曲线 $y=(3-x)\mathrm{e}^{-\frac13x}$ 在 $x\ge0$ 范围内的一部分，以及其最小值点 $M$ 。

(a) 求 $M$ 的精确坐标。

(5)

(b) 求曲线与坐标轴所围成的阴影区域的面积，答案用 $\mathrm{e}$ 表示。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用乘积法则求导，提出指数因子后，驻点条件成为一次方程。再用导数符号确认极小。

答题过程

展开

For $y=(3-x)e^{-x/3}$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,-e^{-x/3}-\frac13(3-x)e^{-x/3}\\[4mm] =&\,\frac{x-6}{3}e^{-x/3}. \end{align*}

Since $e^{-x/3}>0$ , the derivative is zero at $x=6$ , negative before $6$ , and positive after $6$ . Thus it is a minimum.

At $x=6$ ,

y=(3-6)e^{-2}=-3e^{-2}.

Therefore $\boxed{M=(6,-3e^{-2})}$ .

(b)

解法一

思路

展开

阴影在 $x=0$ 与横轴交点 $x=3$ 之间，曲线为正。使用分部积分，并留意两个指数项最后可以抵消。

答题过程

展开

The shaded area is

A=\int_0^3(3-x)e^{-x/3}\,\mathrm{d}x.

Integrating by parts,

\begin{align*} \int(3-x)e^{-x/3}\,\mathrm{d}x =&\,-3(3-x)e^{-x/3}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-3\int e^{-x/3}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,-3(3-x)e^{-x/3}+9e^{-x/3}+C\\[4mm] =&\,3xe^{-x/3}+C. \end{align*}

Hence

A=\big[3xe^{-x/3}\big]_0^3 =\boxed{\frac9e}.

CIE 9709 2022 November Paper 31 Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程