设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{4-x+x^2}{(1+x)(2+x^2)}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 求 $\displaystyle\int_0^4\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ 的精确值。将答案表示为单个对数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

二次因子的分子先设为一次式，即使最后常数系数为零，也不能预先省掉。

Write

Then

At $x=-1$, $6=3A$, so $A=2$.

Comparing constant terms gives $4=2A+C$, so $C=0$. Comparing coefficients of $x^2$ gives $1=A+B$, so $B=-1$.

Therefore

利用(a)两项都是对数型积分，代入端点后利用 $\ln18-\ln2=\ln9$ 合成单一对数。

Using part (a), note that the derivative of $\ln(2+x^2)$ is $2x/(2+x^2)$, giving the coefficient $-1/2$. Both logarithm arguments are positive on $0\le x\le4$. Thus