题目

Problem

(a) Solve the equation $z^2-6\mathrm{i}z-12=0$ , giving the answers in the form $x+\mathrm{i}y$ , where $x$ and $y$ are real and exact.

(3)

(b) On a sketch of an Argand diagram with origin $O$ , show points $A$ and $B$ representing the roots of the equation in part (a).

(1)

(3)

(d) Hence show that the triangle $OAB$ is equilateral.

(1)

题目中文翻译

(a) 解方程 $z^2-6\mathrm{i}z-12=0$ ，将答案表示为 $x+\mathrm{i}y$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 为实数，且均用精确值表示。

(3)

(b) 在以 $O$ 为原点的阿尔冈图草图上，标出表示 (a) 问方程两个根的点 $A$ 和 $B$ 。

(1)

(3)

(d) 由此证明三角形 $OAB$ 为等边三角形。

(1)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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求根公式中的 $(-6\mathrm{i})^2$ 是负实数，与常数项形成正判别式，最后得到两个实部互为相反数的根。

答题过程

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The quadratic formula gives

\begin{align*} z =&\,\frac{6\mathrm{i}\pm\sqrt{(-6\mathrm{i})^2+48}}2\\[4mm] =&\,\frac{6\mathrm{i}\pm\sqrt{-36+48}}2\\[4mm] =&\,\boxed{\sqrt3+3\mathrm{i} \quad\text{or}\quad-\sqrt3+3\mathrm{i}}. \end{align*}

解法二

思路

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也可在复数范围配方，把方程写成 $(z-3\mathrm{i})^2=3$ 。

答题过程

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Since

(z-3\mathrm{i})^2=z^2-6\mathrm{i}z-9,

the equation $z^2-6\mathrm{i}z-12=0$ becomes

(z-3\mathrm{i})^2=3.

Thus $z-3\mathrm{i}=\pm\sqrt3$ , giving

\boxed{z=\sqrt3+3\mathrm{i} \quad\text{or}\quad z=-\sqrt3+3\mathrm{i}}.

(b)

解法一

思路

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将两个根的实部、虚部分别作为横、纵坐标，两点位于同一水平线并关于虚轴对称。

答题过程

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Plot

A=(\sqrt3,3),\qquad B=(-\sqrt3,3)

on an Argand diagram with labelled real and imaginary axes. Mark the origin $O$ and use a consistent scale.

(c)

解法一

思路

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两根实部绝对值相同，模相等；第一个根在第一象限，第二个在第二象限。

答题过程

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Both roots have modulus

\sqrt{(\sqrt3)^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.

For $z_A=\sqrt3+3\mathrm{i}$ ,

\arg z_A=\tan^{-1}\frac3{\sqrt3}=\frac\pi3.

For $z_B=-\sqrt3+3\mathrm{i}$ , the principal argument is in the second quadrant:

\arg z_B=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}{3}.

Thus

\begin{align*} \boxed{|z_A|=|z_B|=2\sqrt3},\\[4mm] \boxed{\arg z_A=\frac\pi3,\quad \arg z_B=\frac{2\pi}{3}}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

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承接(c)，两条从原点出发的边等长，夹角为 $\pi/3$ ，因此等腰三角形的另外两角也都是 $\pi/3$ 。

答题过程

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From part (c), $OA=OB=2\sqrt3$ , so $OAB$ is isosceles. Also

\angle AOB=\frac{2\pi}{3}-\frac\pi3=\frac\pi3.

The remaining two equal angles each have size

\frac12\bigg(\pi-\frac\pi3\bigg)=\frac\pi3.

All three angles are equal, so $\boxed{OAB\text{ is equilateral}}$ .

CIE 9709 2022 November Paper 32 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程