图中显示了一个直径为 $AB$、圆心为 $O$、半径为 $r$ 的半圆。阴影区域是弦 $AC$ 所对应的小弓形，其面积为半圆面积的三分之一。角 $CAB$ 为 $\theta$ 弧度。

(a) 证明 $\theta=\frac13(\pi-1.5\sin2\theta)$。

(b) 通过计算验证 $0.5<\theta<0.7$。

(c) 使用基于 (a) 问方程的迭代公式求 $\theta$，结果保留 $3$ 位小数。每次迭代的结果保留 $5$ 位小数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

在等腰三角形 $AOC$ 中，底角均为 $\theta$，所以圆心角为 $\pi-2\theta$。阴影是相应扇形减三角形，并等于半圆面积的三分之一。

Since $OA=OC=r$ and $\angle OAC=\theta$,

The shaded segment has area

It equals one third of the semicircle area, so

Cancelling $r^2/2$ and using $\sin(\pi-2\theta)=\sin2\theta$,

Thus

giving

将(a)右侧减去左侧，计算端点的符号。两端都在几何上允许的角度范围内。

Let $f(\theta)=\tfrac13(\pi-1.5\sin2\theta)-\theta$. Working in radians,

Since $f$ is continuous, there is a root between $0.5$ and $0.7$. Also

for $0<\theta<\pi/2$, so the geometric root is unique. Hence $\boxed{0.5<\theta<0.7}$.

按(a)迭代并列到五位小数，不能只列四位；继续到相邻数值支持同一个三位小数答案。

Use

in radians.

Therefore $\boxed{\theta=0.586}$ to 3 decimal places.