一名园丁用水管向一个观赏水池注水，水管每分钟输送 $30$ 升水。最初水池是空的。开始注水 $t$ 分钟后，池中水的体积为 $V$ 升。水池有一处小漏口，以每分钟 $0.01V$ 升的速率漏水。

$V$ 和 $t$ 满足的微分方程形式为 $\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=a-bV$。

(a) 写出常数 $a$ 和 $b$ 的值。

(b) 解此微分方程，并求 $V=1000$ 时 $t$ 的值。

(c) 求用 $t$ 表示 $V$ 的表达式，并由此说明当 $t$ 变得很大时 $V$ 如何变化。

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水量净变化率等于流入率减去漏水率，直接与给定形式比较。

The net rate of change is

Therefore $\boxed{a=30,\qquad b=0.01}$.

分离变量，注意分母中 $V$ 的系数为负。使用初始空池条件定常数，再代入目标水量求时间。

Separating variables,

On the filling branch through $V=0$, the denominator is positive. Since the derivative of $30-0.01V$ with respect to $V$ is $-0.01$, integration gives

Using $V=0$ at $t=0$, $C=-100\ln30$. Hence

When $V=1000$,

Therefore $\boxed{t=40.5\text{ minutes}}$.

将(b)的对数关系指数化，解出 $V$。时间趋于无穷时，衰减指数趋于零。

From part (b),

so

Therefore

As $t\to\infty$, $\boxed{V\to3000\text{ litres}}$.