设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{5-x+6x^2}{(3-x)(1+3x^2)}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 求 $\displaystyle\int_0^1\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ 的精确值，并化简答案。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

二次因子的分子设一次式，即使最终一次项为零也应从完整形式开始。清分母后用特殊值和系数比较求解。

Write

Then

At $x=3$, $56=28A$, so $A=2$.

Comparing constant terms gives $5=A+3C$, so $C=1$. Comparing coefficients of $x^2$ gives $6=3A-B$, so $B=0$.

Thus

利用(a)分别得到对数与反正切积分，代入上下限后合并对数。

Using part (a), the derivative of $\tan^{-1}(\sqrt3x)$ is $\sqrt3/(1+3x^2)$, so its integral coefficient is $1/\sqrt3$. Also $3-x>0$ on $0\le x\le1$. Hence