题目

Problem

The parametric equations of a curve are

x=2t-\tan t,\quad y=\ln(\sin2t),

for $0<t<\frac12\pi$ .

Show that $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cot t$ .

(5)

题目中文翻译

一条曲线的参数方程为

x=2t-\tan t,\quad y=\ln(\sin2t),

其中 $0<t<\frac12\pi$ 。

证明 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cot t$ 。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

分别对参数求导。取比值后用二倍角公式约简，须先注明 $\cos2t\ne0$ ；同时为零的参数点用附近切线斜率的极限处理。

答题过程

展开

Differentiating,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} =&\,2-\sec^2t\\[4mm] =&\,\frac{\cos2t}{\cos^2t}, \end{align*}

and

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =\frac{2\cos2t}{\sin2t}.

For $t\ne\pi/4$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{2\cos2t/\sin2t}{\cos2t/\cos^2t}\\[4mm] =&\,\frac{2\cos^2t}{2\sin t\cos t}\\[4mm] =&\,\boxed{\cot t}. \end{align*}

At $t=\pi/4$ , both parameter derivatives vanish; the tangent-gradient limit from nearby regular values is $\cot(\pi/4)=1$ .

CIE 9709 2022 November Paper 33 Q4

题目

解答

解法一

思路

答题过程