题目

Problem

Solve the quadratic equation $(1-3\mathrm{i})z^2-(2+\mathrm{i})z+\mathrm{i}=0$ , giving your answers in the form $x+\mathrm{i}y$ , where $x$ and $y$ are real.

(6)

题目中文翻译

解二次方程 $(1-3\mathrm{i})z^2-(2+\mathrm{i})z+\mathrm{i}=0$ ，将答案表示为 $x+\mathrm{i}y$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 为实数。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

用复系数二次方程的求根公式。先完整算出判别式，再分别用共轭化分母得到直角坐标形式。

答题过程

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The quadratic formula gives

z=\frac{2+\mathrm{i}\pm \sqrt{(2+\mathrm{i})^2-4(1-3\mathrm{i})\mathrm{i}}} {2(1-3\mathrm{i})}.

Now

(2+\mathrm{i})^2=3+4\mathrm{i}, \qquad 4(1-3\mathrm{i})\mathrm{i}=12+4\mathrm{i}.

The discriminant is therefore $-9$ , so

z=\frac{2+\mathrm{i}\pm3\mathrm{i}}{2-6\mathrm{i}}.

For the plus sign,

\begin{align*} z=&\,\frac{2+4\mathrm{i}}{2-6\mathrm{i}}\\[4mm] =&\,\frac{(2+4\mathrm{i})(2+6\mathrm{i})}{40}\\[4mm] =&\,\frac{-20+20\mathrm{i}}{40}\\[4mm] =&\,-\frac12+\frac12\mathrm{i}. \end{align*}

For the minus sign,

\begin{align*} z=&\,\frac{2-2\mathrm{i}}{2-6\mathrm{i}}\\[4mm] =&\,\frac{(2-2\mathrm{i})(2+6\mathrm{i})}{40}\\[4mm] =&\,\frac{16+8\mathrm{i}}{40}\\[4mm] =&\,\frac25+\frac15\mathrm{i}. \end{align*}

Thus

\boxed{z=-\frac12+\frac12\mathrm{i} \quad\text{or}\quad z=\frac25+\frac15\mathrm{i}}.

CIE 9709 2022 November Paper 33 Q6

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