方程为 $y=\dfrac{x^3}{\mathrm{e}^x-1}$ 的曲线在 $x=p$ 处有一个驻点，其中 $p>0$。

(a) 证明 $p=3(1-\mathrm{e}^{-p})$。

(b) 通过计算验证 $p$ 位于 $2.5$ 与 $3$ 之间。

(c) 使用基于 (a) 问方程的迭代公式求 $p$，结果保留 $2$ 位小数。每次迭代的结果保留 $4$ 位小数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用商法则求导。因为驻点横坐标为正，可约去 $p^2$，再除以 $e^p$ 整理为目标形式。

Differentiating,

At the stationary point $x=p>0$,

Dividing by $p^2e^p>0$,

Therefore $\boxed{p=3(1-e^{-p})}$.

构造连续函数检验两端符号。区间内导数也可确认根唯一。

Let $f(p)=3(1-e^{-p})-p$. Then

Since $f$ is continuous, it has a root between $2.5$ and $3$. Also $f'(p)=3e^{-p}-1<0$ on this interval, so the root there is unique. Thus $\boxed{2.5<p<3}$.

使用(a)给出的迭代形式，从区间内取初值，保留内部精度并显示四位小数。

Use

The iterates are:

Hence $\boxed{p=2.82}$ to 2 decimal places.