题目

Problem

With respect to the origin $O$ , the position vectors of the points $A$ , $B$ and $C$ are given by

\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

and

\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}.

The midpoint of $AC$ is $M$ and the point $N$ lies on $BC$ , between $B$ and $C$ , and is such that $BN=2NC$ .

(a) Find the position vectors of $M$ and $N$ .

(3)

(b) Find a vector equation for the line through $M$ and $N$ .

(2)

(c) Find the position vector of the point $Q$ where the line through $M$ and $N$ intersects the line through $A$ and $B$ .

(4)

题目中文翻译

相对于原点 $O$ ，点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的位置向量分别为

\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

和

\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\end{pmatrix}.

$M$ 为 $AC$ 的中点，点 $N$ 在 $BC$ 上且位于 $B$ 与 $C$ 之间，并满足 $BN=2NC$ 。

(a) 求 $M$ 和 $N$ 的位置向量。

(3)

(b) 求经过 $M$ 和 $N$ 的直线的一个向量方程。

(2)

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

中点取两个位置向量的平均； $BN=2NC$ 表示从 $B$ 向 $C$ 走全长的 $2/3$ 。

答题过程

展开

Since $M$ is the midpoint of $AC$ ,

\begin{align*} \overrightarrow{OM} =&\,\frac12\big[(0,5,2)+(4,-3,-2)\big]\\[4mm] =&\,\boxed{(2,1,0)}. \end{align*}

Also,

\begin{align*} \overrightarrow{ON} =&\,\overrightarrow{OB}+\frac23\overrightarrow{BC}\\[4mm] =&\,(1,0,1)+\frac23(3,-3,-3)\\[4mm] =&\,\boxed{(3,-2,-1)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由(a)得到方向向量 $\overrightarrow{MN}$ ，再用 $M$ 的位置向量作起点。

答题过程

展开

The direction vector is

\overrightarrow{MN}=(3,-2,-1)-(2,1,0)=(1,-3,-1).

Thus a vector equation is

\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}}.

(c)

解法一

思路

展开

写出 $AB$ 方程，逐分量联立。两个分量求出参数后，核对第三个分量以确认是真正交点。

答题过程

展开

A direction vector for $BA$ is $(-1,5,1)$ , so the line through $A$ and $B$ can be written

\mathbf r=(1,0,1)+s(-1,5,1).

At an intersection with $MN$ ,

\begin{align*} 2+\lambda=&\,1-s,\\[4mm] 1-3\lambda=&\,5s,\\[4mm] -\lambda=&\,1+s. \end{align*}

The first gives $s=-1-\lambda$ . Substitution into the second gives

\begin{align*} 1-3\lambda=&\,-5-5\lambda,\\[4mm] \lambda=&\,-3,\qquad s=2. \end{align*}

The third equation is satisfied: $-\lambda=3=1+s$ . Therefore

\boxed{\overrightarrow{OQ} =-\mathbf i+10\mathbf j+3\mathbf k}.

CIE 9709 2022 November Paper 33 Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程