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CIE 9709 2023 Nov Paper 31 Q10

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2023 Nov Paper 31 Paper · Question 10

题目

Problem

Let f(x)=24x+13(1−2x)(2+x)2\mathrm{f}(x)=\dfrac{24x+13}{(1-2x)(2+x)^2}.

(a) Express f(x)\mathrm{f}(x) in partial fractions.

(5)

(b) Hence obtain the expansion of f(x)\mathrm{f}(x) in ascending powers of xx, up to and including the term in x2x^2.

(5)

(c) State the set of values of xx for which the expansion in (b) is valid.

(1)
题目中文翻译

设 f(x)=24x+13(1−2x)(2+x)2\mathrm{f}(x)=\dfrac{24x+13}{(1-2x)(2+x)^2}。

(a) 将 f(x)\mathrm{f}(x) 表示为部分分式。

(5)

(b) 由此求 f(x)\mathrm{f}(x) 按 xx 的升幂排列的展开式，直到并包括 x2x^2 项。

(5)

(c) 写出使 (b) 问中的展开式成立的 xx 的取值范围。

(1)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

重复的一次因子需要同时有一次方、二次方的分式。代入特殊值先求两个系数，再比较最高次项求剩余系数。

答题过程

展开

Write

f(x)=A1−2x+B2+x+C(2+x)2.\mathrm f(x)=\frac{A}{1-2x} +\frac{B}{2+x}+\frac{C}{(2+x)^2}.

Clearing denominators,

24x+13= A(2+x)2 +B(1−2x)(2+x)+C(1−2x).\begin{align*} 24x+13=&\,A(2+x)^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+B(1-2x)(2+x)+C(1-2x). \end{align*}

At x=1/2x=1/2,

25=A(52)2,A=4.25=A\bigg(\frac52\bigg)^2,\qquad A=4.

At x=−2x=-2,

−35=5C,C=−7.-35=5C,\qquad C=-7.

Comparing coefficients of x2x^2 gives 0=A−2B0=A-2B, so B=2B=2. Hence

f(x)=41−2x+22+x−7(2+x)2.\boxed{\mathrm f(x)=\frac4{1-2x} +\frac2{2+x}-\frac7{(2+x)^2}}.

(b)

解法一

思路

展开

承接(a)，把每个分式写成标准二项式，分别展开到二次项后逐项相加。

答题过程

展开

Using the partial fractions from part (a),

41−2x=4(1−2x)−1=4+8x+16x2+⋯ ,\frac4{1-2x}=4(1-2x)^{-1} =4+8x+16x^2+\cdots, 22+x= (1+x2)−1= 1−x2+x24+⋯ ,\begin{align*} \frac2{2+x} =&\,\bigg(1+\frac x2\bigg)^{-1}\\[4mm] =&\,1-\frac x2+\frac{x^2}{4}+\cdots, \end{align*}

and

−7(2+x)2= −74(1+x2)−2= −74[1−2(x2)+3(x2)2+⋯]= −74+74x−2116x2+⋯ .\begin{align*} -\frac7{(2+x)^2} =&\,-\frac74\bigg(1+\frac x2\bigg)^{-2}\\[4mm] =&\,-\frac74\bigg[1-2\bigg(\frac x2\bigg) +3\bigg(\frac x2\bigg)^2+\cdots\bigg]\\[4mm] =&\,-\frac74+\frac74x-\frac{21}{16}x^2+\cdots. \end{align*}

Adding the three expansions,

f(x)= (4+1−74)+(8−12+74)x +(16+14−2116)x2+⋯= 134+374x+23916x2+⋯.\begin{align*} \mathrm f(x) =&\,\bigg(4+1-\frac74\bigg) +\bigg(8-\frac12+\frac74\bigg)x\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\bigg(16+\frac14-\frac{21}{16}\bigg)x^2+\cdots\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{13}{4}+\frac{37}{4}x+\frac{239}{16}x^2+\cdots}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

各个展开都要同时有效，因此取条件的交集。

答题过程

展开

The expansion of (1−2x)−1(1-2x)^{-1} requires ∣2x∣<1|2x|<1, so ∣x∣<1/2|x|<1/2.

The expansions involving 1+x/21+x/2 require ∣x/2∣<1|x/2|<1, so ∣x∣<2|x|<2.

Their common range is therefore

−12<x<12.\boxed{-\frac12<x<\frac12}.