图中，$OABCDEFG$ 是一个长方体，其中 $OA=3$ 个单位，$OC=2$ 个单位，$OD=2$ 个单位。单位向量 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{k}$ 分别平行于 $OA$、$OD$ 和 $OC$。$M$ 是 $EF$ 的中点。

(a) 求 $M$ 的位置向量。

$P$ 的位置向量为 $\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k}$。

(b) 计算角 $PAM$。

(c) 求从 $P$ 到经过 $O$ 和 $M$ 的直线的垂线段的精确长度。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

根据三个单位向量的方向，写出 $E$、$F$ 的坐标，再取中点。

The endpoints of $EF$ have position vectors

Since $M$ is their midpoint,

角的顶点是 $A$，因此要用 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AM}$，不能直接使用位置向量 $\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OM}$。

Since $\overrightarrow{OA}=3\mathbf i$,

Thus

Also $|\overrightarrow{AP}|=3$ and $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt5$. Hence

设垂足 $Q$ 在 $OM$ 上，位置向量为 $\lambda(3,2,1)$。垂线与直线方向向量点积为零，求出参数后算长度。

Let the foot of the perpendicular be $Q$, where

Then

Since $PQ\perp OM$,

Thus $\lambda=1/2$ and

Therefore

也可把 $P$ 到直线上任意点的距离平方写成参数的二次式，配方求最小值。

A general point $Q$ on $OM$ has position vector $\lambda(3,2,1)$. Hence

The minimum is $5/2$, attained at $\lambda=1/2$. The minimum distance from a point to a line is the perpendicular distance, so it is

先用点积求 $\overrightarrow{OP}$ 在 $OM$ 方向的投影长度，再用直角三角形的勾股定理求垂直距离。

A direction vector for $OM$ is $\mathbf d=(3,2,1)$, with $|\mathbf d|=\sqrt{14}$. Also $\overrightarrow{OP}=(1,1,2)$.

The projection length of $\overrightarrow{OP}$ onto $OM$ is

Since $OP^2=1^2+1^2+2^2=6$, Pythagoras gives the squared perpendicular distance

Therefore $\boxed{d=\sqrt{10}/2}$.