题目

Problem

The variables $x$ and $y$ are related by the equation $y=ab^x$ , where $a$ and $b$ are constants. The diagram shows the result of plotting $\ln y$ against $x$ for two pairs of values of $x$ and $y$ . The coordinates of these points are $(1,3.7)$ and $(2.2,6.46)$ .

Use this information to find the values of $a$ and $b$ .

(4)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 由方程 $y=ab^x$ 关联，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。图中显示了对两组 $x$ 和 $y$ 的值绘制 $\ln y$ 对 $x$ 的图像所得的结果。这两点的坐标分别为 $(1,3.7)$ 和 $(2.2,6.46)$ 。

利用这些信息求 $a$ 和 $b$ 的值。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

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图上纵坐标是 $\ln y$ 。对关系式取对数，直线斜率为 $\ln b$ 、截距为 $\ln a$ 。

答题过程

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Taking logarithms,

\ln y=\ln a+x\ln b.

The two points give

\begin{align*} 3.7=&\,\ln a+\ln b,\\[4mm] 6.46=&\,\ln a+2.2\ln b. \end{align*}

Subtracting,

\begin{align*} 2.76=&\,1.2\ln b,\\[4mm] \ln b=&\,2.3. \end{align*}

Then $\ln a=3.7-2.3=1.4$ . Hence

\begin{align*} a=&\,e^{1.4}\approx\boxed{4.06},\\[4mm] b=&\,e^{2.3}\approx\boxed{9.97}. \end{align*}

to 3 significant figures.

解法二

思路

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也可以先把图上两个对数值还原为 $y$ 值，再将两个指数方程相除以消去 $a$ 。

答题过程

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The plotted points imply

\begin{align*} e^{3.7}=&\,ab,\\[4mm] e^{6.46}=&\,ab^{2.2}. \end{align*}

Dividing the second equation by the first gives

e^{2.76}=b^{1.2}.

Taking logarithms,

1.2\ln b=2.76,\qquad b=e^{2.3}.

From $e^{3.7}=ab$ ,

a=\frac{e^{3.7}}{e^{2.3}}=e^{1.4}.

Therefore, to 3 significant figures,

\boxed{a=4.06,\qquad b=9.97}.

CIE 9709 2023 Nov Paper 31 Q3

题目

解答

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程