复数 $u$ 定义为 $u=\dfrac{3+2\mathrm{i}}{a-5\mathrm{i}}$，其中 $a$ 为实数。

(a) 将 $u$ 表示为直角坐标形式 $x+\mathrm{i}y$，其中 $x$ 和 $y$ 均用 $a$ 表示。

(b) 已知 $\arg u=\frac14\pi$，求 $a$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分母含复数，用共轭 $a+5\mathrm{i}$ 化为实分母，再分开实部和虚部。

Multiplying numerator and denominator by $a+5\mathrm{i}$,

也可以设商为 $x+\mathrm{i}y$，清分母后比较实部和虚部，解二元一次方程。

Let $u=x+\mathrm{i}y$. Then

Thus

Multiplying the first by $a$ and subtracting five times the second,

Multiplying the second by $a$ and adding five times the first,

Since $a^2+25>0$,

辐角为 $\pi/4$ 不仅要求实部等于虚部，还要求两者都为正。先解等式，再检查象限。

For $\arg u=\pi/4$, the real and imaginary parts must be equal and positive. From part (a),

Thus

At $a=25$,

so the argument is indeed $\pi/4$. Therefore $\boxed{a=25}$.