题目

Problem

The parametric equations of a curve are

x=\sqrt t+3,\qquad y=\ln t,

for $t>0$ .

(a) Obtain a simplified expression for $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ in terms of $t$ .

(3)

(b) Hence find the exact coordinates of the point on the curve at which the gradient of the normal is $-2$ .

(3)

题目中文翻译

一条曲线的参数方程为

x=\sqrt t+3,\qquad y=\ln t,

其中 $t>0$ 。

(a) 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 用 $t$ 表示的简化表达式。

(3)

(b) 由此求曲线上法线斜率为 $-2$ 的点的精确坐标。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

参数曲线的斜率是 $\big(\mathrm{d}y/\mathrm{d}t\big)/\big(\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\big)$ ，求导后约去相同的幂。

答题过程

展开

Since $x=\sqrt t+3$ and $y=\ln t$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,\frac1{2\sqrt t},\\[4mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,\frac1t. \end{align*}

Therefore, for $t>0$ ,

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{1/t}{1/(2\sqrt t)} =\frac2{\sqrt t}}.

(b)

解法一

思路

展开

切线与法线斜率的乘积为 $-1$ 。先求切线斜率，再利用(a)求参数，最后代回坐标式。

答题过程

展开

The normal has gradient $-2$ , so the tangent has gradient $1/2$ . Using part (a),

\begin{align*} \frac2{\sqrt t}=&\,\frac12,\\[4mm] \sqrt t=&\,4,\\[4mm] t=&\,16. \end{align*}

Thus

\begin{align*} x=&\,\sqrt{16}+3=7,\\[4mm] y=&\,\ln16. \end{align*}

The required point is $\boxed{(7,\ln16)}$ .

CIE 9709 2023 Nov Paper 31 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程