图中显示了曲线 $y=x\mathrm{e}^{-\frac14x^2}$（$x\ge0$）及其极大值点 $M$。

(a) 求 $M$ 的精确坐标。

(b) 使用代换 $x=\sqrt u$ 或其他方法，通过积分求由该曲线、$x$ 轴和直线 $x=3$ 围成的阴影区域的精确面积。

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You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则与链式法则求导。指数因子恒正，因此导数符号由 $1-x^2/2$ 决定。

Differentiating,

At a stationary point, $x^2=2$. Since $x\ge0$, $x=\sqrt2$.

The derivative is positive for $0\le x<\sqrt2$ and negative for $x>\sqrt2$, so this point is a maximum. Its ordinate is

Thus $\boxed{M=(\sqrt2,\sqrt2\,e^{-1/2})}$.

按题设代换 $x=\sqrt u$，用 $x\,\mathrm{d}x=\tfrac12\,\mathrm{d}u$ 消去根式。上下限也要换成 $u$。

Since $y\ge0$ for $x\ge0$, the area is

Put $u=x^2$, so $x=\sqrt u$ and $\mathrm{d}x=\tfrac12u^{-1/2}\,\mathrm{d}u$. The limits $x=0,3$ become $u=0,9$. Hence

观察到指数的导数为 $-x/2$，因此被积函数与 $e^{-x^2/4}$ 的导数只差常数，可直接逆用链式法则。

The area is

Since

an antiderivative of $xe^{-x^2/4}$ is $-2e^{-x^2/4}$. Therefore

Thus $\boxed{A=2-2e^{-9/4}}$.