直线 $l$ 和 $m$ 的方程分别为

和

其中 $c$ 为正常数。已知 $l$ 与 $m$ 之间的夹角为 $60^\circ$。

(a) 求 $c$ 的值。

(b) 证明从 $(6,-3,6)$ 到 $l$ 的垂线段的长度为 $\sqrt{11}$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

方向向量的点积给出夹角。平方得到二次方程后，要利用 $c>0$ 筛选根。

Direction vectors are $\mathbf d=(1,1,2)$ and $\mathbf e=(-2,4,c)$. Hence

Since $c>0$, the scalar product is positive. Using the angle $60^\circ$,

Squaring,

The roots are $2$ and $-26/5$. Since $c>0$, $\boxed{c=2}$.

设垂足在直线上，利用连接向量与直线方向垂直求参数，再计算长度。

Let $A=(6,-3,6)$ and let $P$ be the foot of the perpendicular on $l$. Write

Then

Since $\overrightarrow{AP}\perp(1,1,2)$,

Thus $6\lambda-12=0$, giving $\lambda=2$. Therefore $\overrightarrow{AP}=(-1,3,-1)$ and

把到直线上任意点的距离平方配成完全平方，最小值就是垂直距离的平方。

For $P=(3+\lambda,-2+\lambda,1+2\lambda)$,

Its minimum is $11$, attained at $\lambda=2$. Therefore the perpendicular distance is $\boxed{\sqrt{11}}$.

取直线上已知点 $B$，用点积求 $\overrightarrow{BA}$ 沿直线方向的投影，再用勾股定理求垂直分量。

Let $B=(3,-2,1)$, a point on $l$. Then

The line has direction $\mathbf d=(1,1,2)$, so

The squared projection length onto $l$ is $12^2/6=24$. Thus the squared perpendicular distance is

giving $\boxed{d=\sqrt{11}}$.